Midiendo la rapidez promedio de un cometa

Se proveen 12 imágenes del mismo campo celeste (ver archivos adjuntos: ImmaginiATLAS): un cometa es visible en el primer plano, a la derecha de la imagen, con un fondo de estrellas (en el centro también puedes ver una galaxia). Las imágenes están centradas y alineadas una con otra. Cada imagen muestra el tiempo de inicio. La duración de la toma es de 60 segundos. Las imágenes están numeradas 0001, 0005, 0010, 0015, y así sucesivamente, en orden cronológico.

Sobreponienndo el conjunto completo de imágenes recolectadas, proveemos un video (ver archivos adjuntos: CometaAtlas Video), en el cual el movimiento del cometa tiene una representación de factor doble:- una escala de tiempo arbitraria, decidida durante el montaje;- una escala espacial intrínseca: a una cierta longitud en mm, cubierta por el cometa en el fondo de estrellas fijas, corresponde una cierta distancia en km.

El objetivo de esta actividad es la medición de la rapidez promedio del cometa C/2019 Y4 en el transcurso de las observaciones del 2 de abril, realizadas a través de SVAS. La rapidez promedio será medida en relación al sistema de referencia adjunto al punto de observación.

Por definición, la rapidez promedio de un cuerpo es la relación entre su movimiento y el intervalo de tiempo Δt en el cual ocurre:

v _media = d / Δt

Por lo tanto será necesario derivar ambos términos de las imágenes:

d = longitud del movimiento del cometa;

Δt = duración del intervalo de tiempo del movimiento

Finalmente, discutiremos los límites y las aproximaciones de las medidas realizadas.

En el transcurso de la actividad, detectaremos la trayectoria del cometa en el intervalo de observación (opcional).

Preparación

Mediremos las coordenadas del cometa en las imágenes provistas. Para ello, podemos usar el software gratuito SalsaJ, que puedes descargar en este enlace .

De otra forma, puedes imprimir las imágenes, asegurándote que todas están impresas en la misma escala.

Paso 1: ver el video. En este video corto, se muestra la secuencia de posiciones de C/2019 Y4 durante las observaciones. Nota su movimiento rápido, con respecto al campo de estrellas, es decir, el fondo de estrellas que aparece en las imágenes.

Paso 2: duración del movimiento. Para derivar la duración total del tiempo de las observaciones Δt, deberás tomar en cuenta los siguientes datos: - la primera observación comenzó a las 22:08:12 UT- la última observación terminó a las 23:32:42 UT.

Será útil expresar la duración de las observaciones en segundos.

Opcional. También puedes derivar el factor de escala del tiempo del video, es decir, cuántos segundos realmente corresponden a un segundo del video. Para hacerlo, simplemente deberás observar el video y medir su duración: Factor de escala del tiempo = duración de las observaciones/duración del video

Respuestas Duración del video = 5,5 segundos. Duración total de las observaciones: 1 hora, 24 minutos y 30 segundos, o 5070 s. Factor de escala del tiempo = 922, es decir, cada segundo del video corresponde a unos 922 segundos reales (15 minutos 22 segundos)

Paso 3: la medida de la posición del cometa en una imagen astronómica. A continuación, describimos un procedimiento posible para medir la posición del cometa en una de las imágenes provistas. El procedimiento es válido en caso de que utilices el software SalsaJ, pero el método puede ser adaptado fácilmente a actividades con material impreso, o con cualquier otro software capaz de contar píxeles automáticamente en la imagen.

Al lanzar la aplicación SalsaJ, aparecerá esta ventana.

Carga la imagen astronómica (o imágenes) provistas. Puedes hacer esto de dos formas: a) usando el comando Open File Image (Abrir Archivo de Imagen) de SalsaJ (primer ícono en la parte superior izquierda) y seleccionar las imágenes provistas; b) abrir la carpeta y arrastrar las imágenes en el mismo programa. Desplaza el cursor en una imagen y nota que, al moverse, tres indicadores en la máscara de SalsaJ se mueven abajo a la izquierda:

x = aumenta de izquierda a derecha

y = aumenta de arriba a abajo

valor = puede tomar un valor entre 0 y 255 y aumenta moviéndose de áreas negras a áreas claras. Este es un párametro que indica el brillo de una estrella.

Las coordenadas (x; y), expresadas en píxeles, forman un sistema de coordenadas en el plano, cuyo origen (0;0) está fijado en la esquina superior izquierda de las imágenes. Esta es una elección de las personas que programaron SalsaJ. Al hacerlo, verás que obtienes un sistema de ejes cartesianos, como el que se muestra en la figura 1.

Iniciando con la imagen número 0001, mueve el cursor en el cometa. Asociaremos la posición del cometa a los píxeles coordenados correspondiendo al valor superior (relacionado con los valores de los alrededores) del párametro de brillo.

Nota que con este método, la determinación de la posición no es única: para cada imagen, hay píxeles adyacentes, tanto a lo largo del eje x como del eje y, en los cuales el valor del brillo es igualmente alto. De acuerdo al nivel de dificultad que desees mantener, puedes decidir ignorar este efecto o puedes asociar a cada medida una incertidumbre de unos cuantos píxeles.

Respuesta. Para la imagen 001, una posible medida es (usaremos la notación +/- con el significado matemático de “más o menos”):

x = 887 +/- 4 y = 409 +/- 3

Paso 4: la trayectoria del cometa. Nota: si quieres usar esta actividad solo para definir la rapidez promedio, puedes proceder directamente al paso 5.

Repite el procedimiento para detectar la posición del cometa en cada imagen, asociando con C/2019 Y4 una posición en cada imagen. Puedes añadir dos líneas más para las incertidumbres Δx y Δy.Entonces obtendrás la tabla (x,y) para el movimiento del cometa.

Coloquemos los datos en una gráfica a través de una hoja de cálculo, o papel cuadriculado, obteniendo una imagen como la mostrada en la figura 2, en la cual se resaltan las barras de error:

En caso de que uses una hoja de cálculo, la tabla deberá parecerse a la que se muestra arriba, con datos alineados, y el tipo de gráfica deberá ser “un diagrama de dispersión”.

En ambos casos, deberás prestar atención a dos detalles: Si quieres representar la trayectoria, deberás usar la misma escala en ambos ejes, para no introducir factores de deformación. Una vez que tengamos los valores numéricos a introducir, deberemos recorrer el origen de los ejes.

Con referencia a los valores anteriormente mencionados, obtenemos una gráfica lineal simple. Revisa el alineamiento de los datos: esta actividad puede ser particularmene interesante si decides asociar un error a las mediciones de la posición.

Respuesta: para la tabla, el siguiente es un resultado posible

Immagini	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
x	887	875	860	846	830	814	799	783	767	755	739	724
y	409	407	407	403	401	399	398	396	396	391	389	387
Δx	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4
Δy	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3

Los datos pueden ser representados como en la siguiente figura, donde también reportamos una línea de tendencia.

Paso 5: el espacio cubierto por el cometa en el curso de las observaciones. A la distancia del cometa, cada pixel corresponde a 620 km:

1 px = 620 km

Este valor se obtiene por un método que está fuera de los objetivos de esta actividad, que supone conocer la distancia al cometa con una buena aproximación. Esta hipótesis simplifica esta actividad, pero puede ser una fuente considerable de error.

El factor de escala se confirma en la imagen #1, donde se reporta una línea blanca de 20 píxeles. Servirá en caso de que decidas realizar la actividad imprimiendo las imágenes: en esta dirección puedes derivar la escala entre centímetros en papel y km - que depende obviamente de las dimesiones que hayas elegido para la impresión.

Para medir la distancia d cubierta por el cometa en el intervalo Δt considerado, es necesario calcular el movimiento entre su posición inicial y final. Entonces mediremos las coordenadas del cometa en la imagen 001 (posición inicial) y en la imagen 055 (posición final). Aplicando el teorema de Pitágoras, calcularemos la distancia d a través de las coordenadas de los puntos, obteniendo entonces un valor expresado en píxeles:

Para calcular la distancia en km, deberás multiplicar el valor de la distancia en píxeles por el factor de escala anterior.

Respuesta. Con estos datos obtienes:

Posición inicial (x1, y1) = (887 +/- 4; 409 +/- 3) Posición final (x2, y2) = (724 +/- 4 ; 387 +/- 3)

distancia: d (px) = 165 +/- 9 píxeles

La distancia cubierta en píxeles corresponde a un total de 102300 km, mientras que el error es de 5580 km. Tomando en consideración cifras significativas, el resultado puede ser expresado como:

d (km) = 102000 +/- 6000 km

con un error relativo de Δd/d = 0,06

Paso 6: la definición y el cálculo de la rapidez promedio. La rapidez promedio de un cuerpo es, por definición, la relación entre la distancia cubierta y el intervalo de tiempo Δt empleado:

vpromedio = d / Δt

Ambos valores son conocidos. Sugerimos que siempre uses la unidad de la medida en el Sistema Internacional de Unidades, expresando la rapidez en metros por segundo (m/s), o, si deseas realizar una comparación directa con tipos de rapidez familiares en la vida diaria, en km/h. Podemos pasar por alto el error en el intervalo de tiempo. Incluso suponiendo un error absoluto de 10 segundos, el error relativo es mucho menor que el de la medición de la distancia cubierta:

Δt/t = 10 s / 5070 s = 0,002

Solución. Usando los datos obtenidos anteriormente, descubrimos que la rapidez promedio del cometa C/2019 Y4, el 2 de abril, era de unos:

v promedio = 20 000 m/s = 72400 km/h

con un error relativo de Δ vpromedio / vpromedio = 0,06 obtienes

v promedio = (72000 +/- 4000) km/h

Discusión

Discusión 1: dirección del movimiento del cometa. Hemos realizado la actividad basándonos en una hipótesis implícita, que no expresamos, sin embargo debemos discutirla para comprender el significado de la estimación en sí. Las imágenes que analizamos muestran la proyección del movimiento del cometa con el fondo del cielo, que aparece - por definición - perpendicular a la línea de visión: en estos casos, nuestras mediciones no corresponden con el valor real de la rapidez del cometa, pero más bien al valor de una de sus componentes. Nuestra medición, en suma, es un valor límite inferior de la rapidez: la rapidez del cometa no puede ser menor de lo que estimamos.

Discute este problema: ¿cuál es la distancia entre el cometa y las estrellas del fondo?

Discusión 2: las fuentes de error y su estimación. Para simplificar la actividad, hemos considerado la siguiente medida sujeta a un error despreciable: la medición de la distancia del cometa; la medición del tiempo. Nuestra suposición es correcta sin lugar a dudas en el segundo caso, pero la medida de la distancia del cometa puede ser una fuente de error no despreciable, porque se refleja en la conversión píxel → km de la escala lineal de las imágenes, y por lo tanto en la distancia que ha sido efectivamente cubierta.

Por otro lado, hemos cuantificado los errores asociados con la medición de la posición del cometa en varias imágenes, y hemos provisto un error convincente en la medición de la distancia cubierta. Tú puedes usar la propagación de errores, incluso en una forma simple, para determinar este valor. A continuación, proveemos una explicación corta del procedimiento que deberá ser usado para calcular el error final. Puedes encontrar una versión detallada y a profundidad de esto en el apéndice 1. Ya que consideramos que el error en Δt es despreciable, será suficiente estimar el error en la distancia cubierta d:

Calculando por separado los errores en cada operación y, considerando la propagación de errores en esta forma más simple, obtenemos, con los datos provistos:

El error en sus cuadrados es:

Error en la suma de los cuadrados:

Error en la raíz cuadrada:

Finalmente, el error en la medición de la distancia es Δd = 9 píxeles.

Discusión 3: sistemas de referencia. Propón una discusión sobre el sistema de referencia adoptado en esta actividad: ¿respecto a qué sistema de referencia se midió la rapidez promedio del cometa? ¿Cuáles ejemplos en la tabla se refieren al mismo sistema de referencia?

Discusión 4: comparación entre los datos de los grupos (o estudiantes). Ahora queremos discutir la compatibilidad de medidas obtenidas por los estudiantes de la clase, al compararlos. Puedes llenar una tabla/hoja de cálculo con los resultados obtenidos por cada estudiante (rapidez obtenida y error absoluto asociado). Tratemos de responder estas preguntas en conjunto:

1. ¿Cómo podemos representar los datos en una gráfica de tal forma que verifiquemos su compatibilidad?
2. Si no son todos compatibles, ¿cuántos de ellos hay? Imagina una razón por la cual algunas mediciones no son compatibles con otras.
3. Calcula el promedio, con un error absoluto y relativo, de mediciones compatibles.

Respuestas 1. En el gráfico, insertamos en el eje de ordenadas la rapidez (en km/h), y en el eje de las abscisas una variable ficticia, que clasifica las medidas (por ejemplo, cada estudiante se asocia con un número en el registro escolar). Las mediciones son todas compatibles entre ellas, si logras dibujar al menos una línea horizontal que interpole mediciones entre las barras de error.

1. Si no son todas compatibles, la razón más probable es el fallo de alguna o algún estudiante en el proceso de determinar la rapidez. En este caso, encontrando las mediciones que no están en la línea (o en la banda horizontal, constituida por una serie de líneas horizontales de datos interpolados) puede ayudar a indicar a las y los estudiantes que no obtuvieron un resultado correcto, y discutir con ellas y ellos las razones para su resultado.
2. La respuesta a esta pregunta depende de cómo se dirigió en clase el asunto de la teoría de errores. De acuerdo a la teoría correcta, necesitas calcular el promedio ponderado, y como un error absoluto, el error en el promedio ponderado. Sin embargo, para simplifar el concepto, frecuentemente consideramos el promedio aritmético, y como error absoluto tomamos la semidispersión de los datos.